Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過(guò)程詳見解析.

試題分析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，利用離心率及解出和得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，先設(shè)出直線的方程，因?yàn)橹本�與橢圓相交，消參得關(guān)于的方程，因?yàn)橄嘟挥?個(gè)交點(diǎn)，所以得到的取值范圍，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，則求出兩根之和、兩根之積及，所以，將上述的條件代入，得到的表達(dá)式，求最值；第三問(wèn)，先通過(guò)對(duì)稱，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，列出直線的方程，令，得的值正好得1，所以得證.
試題解析：(1)解：由題意知，∴，即，
又，∴，
故橢圓的方程為 .    2分
(2)解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由得：，      4分
由得：，
設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)，則　�、�
∴，
∴
∵，∴，∴，
∴的取值范圍是.
（3）∵兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，
直線的方程為，令得：
又，，∴，
由將①代入得：，∴直線與軸交于定點(diǎn).