Question

甲、乙、丙三人獨立完成某項任務(wù)的概率分別為．且他們是否完成任務(wù)互不影響．
（Ⅰ）若，設(shè)甲、乙、丙三人中能完成任務(wù)人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）若三人中只有丙完成了任務(wù)的概率為，求p的值．

Answer 1

解：設(shè)“甲、乙、丙三人各自完成任務(wù)”分別為事件A、B、C，
所以P（A）=，P（B）=p，P（C）=，且A、B、C相互獨立．
（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3．
因為，所以P（B）=．
所以P（X=0）=P（••）=（1-）×（1-）×（1-）=，
P（X=1）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）=，
P（X=2）=P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=，
P（X=3）=P（A•B•C）=××=．
所以X分布列為：

X	0	1	2	3
P

所以，．
（Ⅱ）設(shè)“三人中只有丙完成了任務(wù)”為事件E，
所以P（E）=P（••C）=（1-）×（1-p）×=，
所以
解可得．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)甲、乙、丙三人各自完成任務(wù)”分別為事件A、B、C，分析可得，X的所有可能取值為0，1，2，3；由相互獨立事件概率的乘法公式可得P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3），即可得X的分步列，由期望的計算公式可得E（X）．
（Ⅱ）設(shè)“三人中只有丙完成了任務(wù)”為事件E，易得P（E）=P（••C），結(jié)合題意代入數(shù)據(jù)可得，解可得P的值．
點評：本題考查相互獨立事件的概率計算以及隨機變量的分步列、期望的計算，計算期望時，需要注意提高計算的準(zhǔn)確性．