Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側棱PA=PC=2

3

，PB=

10

．M，N兩點分別在側棱PB，PD上，

|PM|

|MB|

=

|PN|

|ND|

=2
（1）求證：PA⊥平面MNC．
（2）求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）先證明PO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，證明

AP

∥

n

，即可得出PA⊥平面MNC．
（2）求出平面NPC與平面MNC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出夾角的余弦值．

解答： （1）證明：設菱形對角線交于點O，則PO⊥AC且|PO|=3
又|PB|=

10

，|OB|=1．
由勾股定理知，PO⊥BD
又∵AC，BD⊆面ABCD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD…（3分）
建立如圖空間直角坐標系，O（0，0，0），P（0，0，3），B（1，0，0），A(0，-

3

，0)，C(0，

3

，0)，D（-1，0，0），M(

2

3

，0，1)，N(-

2

3

，0，1)…（5分）
∵

AP

=(0，

3

，3)，平面MNC的法向量

m

=(0，1，

3

)，
∴

AP

∥

n

，
∴AP⊥平面MNC…（8分）
（2）解：設面NPC的法向量為

n

=(x，y，z)．
∵

NP

=（

2

3

，0，2），

CP

=（0，-

3

，3），
由

n

•

NP

=0，

n

•

CP

=0，可得

2 3 x+2z=0 - 3 y+3z=0

，
取z=1，得

n

=(-3，

3

，1)…（10分）
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

39

13

∴平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值為

39

13

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于這道題．