Question

在學習完統(tǒng)計學知識后，兩位同學對所在年級的1200名同學一次數學考試成績作抽樣調查，兩位同學采用簡單隨機抽樣方法抽取100名學生的成績，并將所選的數學成績制成如統(tǒng)計表，設本次考試的最低期望分數為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績分數在[85，90）的學生通過自身努力能達到最低期望分數．
（Ⅰ）求出各分數段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學生的成績在各個分數段的頻率表示概率，請估計該校學生數學成績達到最低期望的學生分數和優(yōu)等生人數；
（Ⅲ）設考試成績在[85，90）的學生成績如下：80，81，83，84，86，89，從分數在[85，90）的學生中抽取2人出來檢查數學知識的掌握情況，記所抽取學生中通過自身努力達到最低期望分數的人數為ξ，求ξ的分布列和期望．

分數段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用各分數段的人數除以100，可得各分數段的頻率，從而可得頻率分布直方圖；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知達到最低期望的頻率為0.85，優(yōu)等生的頻率為0.18，從而可求該校學生數學成績達到最低期望的學生分數和優(yōu)等生人數；
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及數學期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）利用各分數段的人數除以100，可得各分數段的頻率．

分數段	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人數	9	6	12	18	21	16	12	6
頻率	0.09	0.06	0.12	0.18	0.21	0.16	0.12	0.06

頻率分布直方圖，如圖所示
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知達到最低期望的頻率為0.85，優(yōu)等生的頻率為0.18，
∴最低期望的學生為1200×0.85=1020，優(yōu)等生人數為1200×0.18=216；
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0，1，2，則
P（ξ=0）=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（8分）
E（ξ）=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，注意頻率分布直方圖的合理運用．