Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠C=60°，AC=a，動點P，Q同時從A出發(fā)，沿周界運動，點P沿A→B→C；動點Q沿A→C→B運動到相遇時停止，它們的速度之比是1：3，點P走過的路程為x，△APQ的面積為y，寫出y關于x的函數解析式，并求出定義域．

Answer 1

分析 先根據點Q的位置進行分類討論，然后分別求出三角形的面積，從而可得函數f（x）的解析式，定義域．

解答 解：因為AP=x，動點Q的速度是動點P的運動速度的3倍，
所以AQ=3x，當點Q在線段AC上時，0＜x≤$\frac{1}{3}$時，三角形APQ為直角三角形，S=$\frac{1}{2}$x•3x=$\frac{3}{2}$x²；
當點Q在線段CB上時，$\frac{1}{3}$＜x≤1時，作出示意圖如下：

△APQ的高為 $\frac{BQ}{BC}$×AC=$\frac{3-2x}{2}$$\frac{3-2x}{2}$×1=$\frac{3-2x}{3}$，
所以S=$\frac{1}{2}$x•$\frac{3-2x}{2}$=$\frac{3x-{3x}^{2}}{4}$；
當Q在線段AB上時，不能構成三角形，
所以函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{3}{2}x}^{2}，（0＜x≤\frac{1}{3}）}\\{\frac{3x-{3x}^{2}}{4}，（\frac{1}{3}＜x≤1）}\end{array}\right.$．
函數的定義域是：（0，1]．

點評 本題主要考查了分段函數的應用，同時考查了學生分析問題和解決問題的能力，以及運算求解的能力．