Question

20．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知a+b=$\sqrt{m}$c（m＞0）．
（1）當(dāng)m=3時，
①若A=B，求sinC；
②若B=$\frac{π}{6}$，求sin（A-C）的值．
（2）當(dāng)m=2時，若c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正弦定理把a(bǔ)+b=$\sqrt{3}$c化為sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，由A=B以及A+B+C=π，利用三角函數(shù)變換，求出sinC的值；
②由B=$\frac{π}{6}$，求出A+C的值，再利用sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC以及三角恒等變換，求出A、C的值，即可計算sin（A-C）；
（2）根據(jù)m=c=2，利用基本不等式求出ab的最大值，即可得出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）①△ABC中，m=3時，a+b=$\sqrt{3}$c，
∴sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC；
又A=B，∴A+B=2A=2B=π-C，
∴A=B=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）+sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$）=$\sqrt{3}$sinC，
∴2cos$\frac{C}{2}$=2$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$，
∴sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinC=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
②∵B=$\frac{π}{6}$，∴A+C=π-B=$\frac{5π}{6}$；
又∵sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinA+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinA=$\sqrt{3}$sinC-$\frac{1}{2}$；
又sinA=sin（$\frac{5π}{6}$-C）=sin$\frac{5π}{6}$cosC-cos$\frac{5π}{6}$sinC=$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，
∴$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=$\sqrt{3}$sinC-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$cosC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC-$\frac{1}{2}$cosC=$\frac{1}{2}$，
即sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
∴C=$\frac{π}{3}$，A=$\frac{5}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴sin（A-C）=sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)m=c=2時，a+b=$\sqrt{2}$c=2$\sqrt{2}$，
∴a²+2ab+b²=8；
∴4ab≤a²+b²+2ab=8，
∴ab≤2，此時a=b=$\sqrt{2}$；
△ABC是等腰直角三角形，其面積最大值為
S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及正弦定理的靈活應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．