Question

已知函數(shù)，在定義域[-2，2]上表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在x＝±1處的切線斜率均為．有以下命題：

①是奇函數(shù)；②若在內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則； ④若對(duì)， 恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的序號(hào)為————

 

Answer 1

【答案】

①③

【解析】解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在定義域x∈[-2，2]上表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，∴f（0）=0∴c=0∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1處的切線斜率均為-1．∴f′（1）=f′（-1）=-1

3+2a+b=-1和3-2a+b=-1，解可得b=-4，a=0∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4

①∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)；①正確

②由f′（x）≥0得單調(diào)區(qū)間進(jìn)而得到結(jié)論。

③由奇函數(shù)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，最大值與最小值互為相反數(shù)，f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0；③正確

④若對(duì)∀x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤4，則k的最大值為-4．④錯(cuò)誤

正確命題的序號(hào)為①③