Question

已知函數(shù)，在定義域內有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數(shù)列的前項和.
（I）求數(shù)列的通項公式；
（II）設各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)；
（Ⅲ）設（且），使不等式
恒成立，求正整數(shù)的最大值

Answer 1

解：（I）∵在定義域內有且只有一個零點
            ……1分
當=0時，函數(shù)在上遞增    故不存在，
使得不等式成立        …… 2分
綜上，得    …….3分

    …………4分                
（II）解法一：由題設
時，
時，數(shù)列遞增           
由               可知
即時，有且只有1個變號數(shù)；    又
即            ∴此處變號數(shù)有2個
綜上得數(shù)列共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3           ……9分
解法二：由題設            
當時，令

又時也有   
綜上得數(shù)列共有3個變號數(shù)，即變號數(shù)為3      …………9分
（Ⅲ）且時，

可轉化為   ．
設，
則當且，

.
所以，即當增大時，也增大．
要使不等式對于任意的恒成立，
只需即可．因為，
所以.      即
所以，正整數(shù)的最大值為5．                             ……………13分

解析