Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列$\sqrt{{S_n}+1}$是公比為2的等比數(shù)列．求證：數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列的充要條件是a₁=3．

Answer 1

分析 由題設知S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_1}，\;\;n=1\\ 3（{{a_1}+1}）•{4^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$．先證明充分性：當a₁=3時，$\frac{a_2}{a_1}=4$，所以對n∈N^*，都有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=4$，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
再證明必要性：因為{a_n}是等比數(shù)列，所以$\frac{a_2}{a_1}=4$，即$\frac{{3（{{a_1}+1}）}}{a_1}=4$，解得a₁=3．

解答 證明：∵數(shù)列$\left\{{\sqrt{{S_n}+1}}\right\}$是公比為2的等比數(shù)列，
∴$\sqrt{{S_n}+1}=\sqrt{{S_1}+1}×{2^{n-1}}$．即${S_n}+1=（{{a_1}+1}）×{4^{n-1}}$．
∵${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_1}，\;\;n=1\\{S_n}-{S_{n-1}}，n≥2\end{array}\right.$，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_1}，\;\;n=1\\ 3（{{a_1}+1}）•{4^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$
顯然當n≥2時$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=4．
①充分性：當a₁=3時，$\frac{a_2}{a_1}=4$，
∴對n∈N^*，都有$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=4$，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
②必要性：∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴$\frac{a_2}{a_1}=4$，即$\frac{{3（{{a_1}+1}）}}{a_1}=4$，解得a₁=3．

點評 本題考查等比關系的確定與等比數(shù)列的性質，考查運算與推理、證明的能力，屬于中檔題．