Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（mcosωx-msinωx，sinωx），$\overrightarrow$=（-cosωx-sinωx，2ncosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+$\frac{n}{2}$（x∈R）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，1）對(duì)稱，且ω∈（1，2）．
（I）若m=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）通過平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)可知f（x）=$\sqrt{4+{m}^{2}}$sin（2ωx-φ）+1，利用m=1及三角函數(shù)的有界性即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立可知，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)g（x）=sin（2ωx-φ）取最大值1，利用當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)g（x）=sin（2ωx-φ）取值為0，可知ω=6（k±$\frac{1}{4}$）（k為整數(shù)），進(jìn)而可知確定函數(shù)f（x）的周期，通過求出一個(gè)單調(diào)區(qū)間，利用周期性可得所有的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（mcosωx-msinωx，sinωx），$\overrightarrow$=（-cosωx-sinωx，2ncosωx），
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=（mcosωx-msinωx）（-cosωx-sinωx）+（sinωx）（2ncosωx）
=-m（cosωx-sinωx）（cosωx+sinωx）+nsin2ωx
=-mcos2ωx+nsin2ωx
=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（2ωx-φ），
又∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+$\frac{n}{2}$（x∈R）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，1）對(duì)稱，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)sin（2ωx-φ）=0，
∴$\frac{n}{2}$=1，即n=2，
∴f（x）=$\sqrt{4+{m}^{2}}$sin（2ωx-φ）+1．
（I）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=$\sqrt{5}$sin（2ωx-φ）+1，
∵-1≤sin（2ωx-φ）≤1，
∴函數(shù)f（x）的最小值為1-$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）∵f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，g（x）=sin（2ωx-φ）取最大值1，
又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，1）對(duì)稱，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，g（x）=sin（2ωx-φ）取值為0，
∴$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{12}$=（k±$\frac{1}{4}$）•$\frac{2π}{2ω}$，即ω=6（k±$\frac{1}{4}$）（k為整數(shù)），
又∵ω∈（1，2），
∴ω=$\frac{3}{2}$，即函數(shù)f（x）是周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$的周期函數(shù)，
∴y=f（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$），
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-$\frac{π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{2kπ}{3}$），k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題以平面向量為載體，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的倍角公式及輔助角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．