Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{a+lnx}{x}$，若曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線e²x-y+e=0垂直（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若函數(shù)f（x）在（m-1，m+1）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，$f（x）（x{e^x}+1）＞\frac{{2（{e^x}+{e^{x-1}}）}}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明$（x+1）f（x）＞\frac{{2（{e^x}+{e^{x-1}}）}}{{x{e^x}+1}}$，令$g（x）=（x+1）\frac{1+lnx}{x}$，$h（x）=\frac{{2（{e^x}+{e^{x-1}}）}}{{x{e^x}+1}}$$g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：$f'（x）=\frac{{\frac{1}{x}•x-（a+lnx）}}{x^2}=\frac{1-a-lnx}{x^2}$，
由題，$f'（e）=-\frac{a}{e^2}=-\frac{1}{e^2}$，∴a=1，
∴$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，∴$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
令f'（x）=0，得x=1，且0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；x＞1時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
f（x）在x=1處有極大值．
∴$\left\{\begin{array}{l}0≤m-1＜1\\ m+1＞1\end{array}\right.$，∴1≤m＜2．
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，要證明f（x）（xe^x+1）＞$\frac{2{（e}^{x}{+e}^{x-1}）}{x+1}$，
需證明$（x+1）f（x）＞\frac{{2（{e^x}+{e^{x-1}}）}}{{x{e^x}+1}}$．…（7分）
令$g（x）=（x+1）\frac{1+lnx}{x}$，$h（x）=\frac{{2（{e^x}+{e^{x-1}}）}}{{x{e^x}+1}}$$g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$，
考慮函數(shù)u（x）=x-lnx，$u'（x）=1-\frac{1}{x}$，x＞1時(shí)，u'（x）＞0，
∴u（x）＞u（1）＞0，∴g'（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（1）=2；
$h'（x）=2\frac{{（{e^x}+{e^{x-1}}）（x{e^x}+1）-（{e^x}+{e^{x-1}}）（x+1）{e^x}}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}=2\frac{{（{e^x}+{e^{x-1}}）（1-{e^x}）}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}$，
∴x＞1時(shí)h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴h（x）＜h（1）=2，
∴x＞1時(shí)，g（x）＞h（x），
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．