已知函數(shù)f（x）滿足f（x-3）=log5
x6-x
（3≤x≤5）．
（1）求函數(shù)f（x）解析式及定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（3）若f（x）≥log5（2x），求x的取值范圍．
分析：（1）設(shè)t=x-3，則x=t+3，由條件求得f(t) = log5
3+t
3-t
，求得t的范圍，可得函數(shù)f（x）解析式及定義域
（2）設(shè)y=f(x) = log5
3+x
3-x
，求得x=
3(5y-1)
5y+1
，可得f-1（x）=
3(5x-1)
5x+1
，再求得原函數(shù)的值域，即為反函數(shù)的定義域．
（3）f(x)≥log5(2x)?
3+x
3-x
≥2x＞0
0≤x≤2       
，由此求得x的范圍．
解答：解：（1）設(shè)t=x-3，則x=t+3．∵f(x-3) = log5
x
6-x
，∴f(t) = log5
3+t
3-t
．…（1分）
∵3≤x≤5，∴0≤t≤2．由
3+t
3-t
＞0
0≤t≤2
，求得0≤t≤2．…（2分）
于是f(x) = log5
3+x
3-x
，且定義域為[0，2]．…（1分）
（2）設(shè)y=f(x) = log5
3+x
3-x
，則
3+x
3-x
=5y，即x=
3(5y-1)
5y+1
，
∴f-1（x）=
3(5x-1)
5x+1
．…（2分）
∵0≤x≤2，∴1≤3-x≤3，∴
3+x
3-x
=-1+
6
3-x
∈[1，  5]．
從而log5
3+x
3-x
∈[0，  1]．
故函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f-1（x）=
3(5x-1)
5x+1
（0≤x≤1）．…（2分）
（3）f(x)≥log5(2x)?
3+x
3-x
≥2x＞0
0≤x≤2       
?
0＜x≤1或x≥
3
2
0≤x≤2           
? 0＜x≤1或
3
2
≤x≤2，即x的范圍為 （0，1]∪[
3
2
，2]．…（4分）
點評：本題主要考查用換元法求函數(shù)的解析式，求一個函數(shù)的反函數(shù)，對數(shù)不等式的解法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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已知函數(shù)f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　　）

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（1）當(dāng)x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù)，并作出證明．

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已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

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（2012•珠海二模）已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x≥1時，f（x）=f（x-1）；當(dāng)x＜1時，f（x）=2x，則f（log27）=（　�。�

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