設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0),已知曲線y=f(x)在點(2,f(x))處在直線y=8相切.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點.
解:(Ⅰ)求導函數(shù),可得f′(x)=3x
2-3a
∵曲線y=f(x)在點(2,f(x))處在直線y=8相切
∴
,∴
∴a=4,b=24
(Ⅱ)f′(x)=3(x
2-4)=3(x+2)(x-2)
令f′(x)>0,可得x<-2或x>2;令f′(x)<0,可得-2<x<2
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2),(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-2,2)
∴x=-2是函數(shù)f(x)的極大值點,x=2是函數(shù)f(x)的極小值點.
分析:(Ⅰ)求導函數(shù),利用曲線y=f(x)在點(2,f(x))處在直線y=8相切,建立方程組,即可求得a,b的值;
(Ⅱ)f′(x)=3(x
2-4)=3(x+2)(x-2),令f′(x)>0,可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;令f′(x)<0,可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,從而可的函數(shù)f(x)的極大值點與極小值點.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,正確求導是關(guān)鍵.