Question

14．古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，第n個三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：
三角形數(shù)             N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
四邊形數(shù)             N（n，4）=n²
五邊形數(shù)             N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n
六邊形數(shù)             N（n，6）=2n²-n
…
可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（20，15）的值為2490．

Answer 1

分析 觀察已知式子的規(guī)律，并改寫形式，歸納可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，把n=20，k=15代入可得答案．

解答 解：原已知式子可化為：N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-3}{2}n$，
N（n，4）=n²=$\frac{4-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-4}{2}n$，
N（n，5）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n=$\frac{5-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-5}{2}n$，
N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}{n}^{2}+\frac{4-6}{2}n$，
由歸納推理可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，
故N（20，15）=$\frac{15-2}{2}×{20}^{2}+\frac{4-15}{2}×20$=2490，
故答案為：2490

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．