Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足a_n=4，T_n為數列{b_n}的前n項和，試比較3-16T_n與 4（n+1）b_n+1的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用遞推關系可得，n≥2 時，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1由{a_n}是等比數列可得a₁=S₁=6+k=4從而苛求得k=-2，代入可求通項公式
（II）結合（I）可求得，根據通項公式的特點求和時可利用錯位相減可求T_n，要比較3-16T_n 與
4（n+1）b_n+1 的大小，可通過作差法可得，4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=
通過討論n的范圍判斷兩式的大小
解答：解：（Ⅰ）由S_n=2-3ⁿ+k可得
n≥2 時，a_n=S_n-S_n-1=4×3^n-1
∵{a_n}是等比數列
∴a₁=S₁=6+k=4∴k=-2，a_n=4×3^n-1
（Ⅱ）由和a_n=4×3^n-1得（6分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

兩式相減可得，

=
4（n+1）b_n+1-（3-16T_n）=
而n（n+1）-3（2n+1）=n²-5n-3
當或＜0時，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以當n＞5時有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1
那么同理可得：當
時有n（n+1）＜3（2n+1），所以當1≤n≤5時有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1
綜上：當n＞5時有3-16T_n＜4（n+1）b_n+1；
當1≤n≤5時有3-16T_n＞4（n+1）b_n+1
點評：本題主要考查了等比數列的通項公式、由遞推關系求數列的通項，錯位相減求數列的和，及通過作差比較大小等知識的綜合應用，屬于綜合試題．