Question

已知等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)都是正數(shù)，a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n及S_n；
（Ⅱ）設(shè){b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，代入已知可得關(guān)于q的方程，解之可得q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可得；（Ⅱ）可得b_n=3×2^n-1+3n-2，分別由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
代入已知可得3+3q+3q²=21，解得q=2，或q=-3（舍去），
故a_n=3×2^n-1，S_n=

3(1-2n)

1-2

=3×2^n-1-3；
（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，
∴b_n-a_n=1+3（n-1）=3n-2，即b_n=3×2^n-1+3n-2
故T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+4+7+…+3n-2）
=

3(1-2n)

1-2

+

n(1+3n-2)

2

=3×2ⁿ-3+

3n2-n

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，屬中檔題．