Question

（1）證明：xlnx≥x-1；
（2）討論函數f（x）=e^x-ax-1的零點個數．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）構造函數φ（x）=xlnx-x+1，利用導數判斷函數的單調性求得最小值為φ（1）=1×ln1-1+1=0，則由φ（x）≥φ（1）=0，即可得證；
（2）利用導數判斷函數的單調性及極值最值，通過對a分類討論求得函數零點的個數．

解答： 解：（1）設函數φ（x）=xlnx-x+1，則φ′（x）=lnx（1分）
則φ（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，（3分）
φ（x）有極小值φ（1），也是函數φ（x）的最小值，則φ（x）≥φ（1）=1×ln1-1+1=0
故xlnx≥x-1．（5分）
（2）f′（x）=e^x-a（6分）
①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）是單調遞增函數，又f（0）=0，
所以此時函數有且僅有一個零點x=0；（7分）
②當a＞0時，函數f（x）在（-∞，lna）上遞減，在（lna，+∞）上遞增，
函數f（x）有極小值f（lna）=a-alna-1（8分）
�。�當a=1時，函數的極小值f（lna）=f（0）=a-alna-1=0
則函數f（x）僅有一個零點x=0；（10分）
ⅱ．當0＜a＜1或a＞1時，由（1）知極小值f（lna）=a-alna-1＜0，又f（0）=0
當0＜a＜1時，lna＜0，則f（x）還必恰有一個小于lna的負根；
當a＞1時，2lna＞lna＞0，計算f（2lna）=a²-2alna-1
考查函數g（x）=x²-2xlnx-1（x＞1），則g′（x）=2（x-1-lnx），
再設h（x）=x-1-lnx（x＞1），h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0
故h（x）在（1，+∞）遞增，則h（x）＞h（1）=1-1-ln1=0，
所以g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上遞增，則g（x）＞g（1）=1²-2×1×ln1-1=0
即f（2lna）=a²-2alna-1＞0，
則f（x）還必恰有一個屬于（lna，2lna）的正根．
故0＜a＜1或a＞1時函數f（x）都是恰有兩個零點．
綜上：當a∈（-∞，0]∪{1}時，函數f（x）恰有一個零點x=0，
當a∈（0，1）∪（1，+∞）時函數f（x）恰有兩個不同零點．（13分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值等知識，考查學生運用分類討論思想、劃歸思想解決數學問題的能力，屬難題．