Question

（1）證明：xlnx≥x-1；
（2）討論函數(shù)f（x）=e^x-ax-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)φ（x）=xlnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得最小值為φ（1）=1×ln1-1+1=0，則由φ（x）≥φ（1）=0，即可得證；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值最值，通過對a分類討論求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)φ（x）=xlnx-x+1，則φ′（x）=lnx（1分）
則φ（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，（3分）
φ（x）有極小值φ（1），也是函數(shù)φ（x）的最小值，則φ（x）≥φ（1）=1×ln1-1+1=0
故xlnx≥x-1．（5分）
（2）f′（x）=e^x-a（6分）
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，又f（0）=0，
所以此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x=0；（7分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上遞減，在（lna，+∞）上遞增，
函數(shù)f（x）有極小值f（lna）=a-alna-1（8分）
�。�當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)的極小值f（lna）=f（0）=a-alna-1=0
則函數(shù)f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)x=0；（10分）
ⅱ．當(dāng)0＜a＜1或a＞1時(shí)，由（1）知極小值f（lna）=a-alna-1＜0，又f（0）=0
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，則f（x）還必恰有一個(gè)小于lna的負(fù)根；
當(dāng)a＞1時(shí)，2lna＞lna＞0，計(jì)算f（2lna）=a²-2alna-1
考查函數(shù)g（x）=x²-2xlnx-1（x＞1），則g′（x）=2（x-1-lnx），
再設(shè)h（x）=x-1-lnx（x＞1），h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0
故h（x）在（1，+∞）遞增，則h（x）＞h（1）=1-1-ln1=0，
所以g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上遞增，則g（x）＞g（1）=1²-2×1×ln1-1=0
即f（2lna）=a²-2alna-1＞0，
則f（x）還必恰有一個(gè)屬于（lna，2lna）的正根．
故0＜a＜1或a＞1時(shí)函數(shù)f（x）都是恰有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上：當(dāng)a∈（-∞，0]∪{1}時(shí)，函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)x=0，
當(dāng)a∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用分類討論思想、劃歸思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，屬難題．