Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=-a（

3

sin2x+cos2x）+2a+b，當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，f（x）的值域是[-5，1]．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，設(shè)g（x）=f（x+

π

2

）（x∈R），求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式化簡函數(shù)解析式：f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，然后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)對a的取值情形進(jìn)行分類討論，求解；
（Ⅱ）根據(jù)g（x）=f（x+

π

2

），得到g(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，然后，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-a（

3

sin2x+cos2x）+2a+b，
∴f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，
∵x∈[0，

π

2

]’
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-2sin(2x+

π

6

)∈[-2，1]，
∴當(dāng)a＞0時，f（x）∈[b，3a+b]，
即 

3a+b=1 b=-5

，∴

a=2 b=-5

； 
當(dāng)a＜0時，f（x）∈[3a+b，b]，
即 

3a+b=-5 b=1

∴

a=-2 b=1

；
∴a=2，b=-5或a=-2，b=1．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知：f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，
∴g(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，
由2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
得x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
由2x+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（其他寫法參照給分）

點(diǎn)評：本題綜合考查了二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．