Question

1．一輪船行駛時，單位時間的燃料費u與其速度v的立方成正比，若輪船的速度為每小時20km時，燃料費為每小時40元，其余費用每小時為270元，這部分費用不隨速度而變化．
（1）求u是v的函數(shù)關系式；
（2）求輪船速度為多少時，輪船航行每千米的費用最少（輪船最高速度為bkm/小時）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法進行求解即可．
（2）求出輪船航行每千米的平均費用，結合基本不等式進行求解即可．

解答 解：（1）設輪船的燃料費u與速度v之間的關系是：u=kv³（k≠0），
由已知，當v=20時，u=40，∴40=k×20³⇒k=$\frac{1}{200}$，
∴u=$\frac{1}{200}$v³．
（2）輪船行駛1千米的費用y=u$•\frac{1}{v}$+270$•\frac{1}{v}$=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{270}{v}$=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{270}{2v}$+$\frac{270}{2v}$
≥3$\root{3}{\frac{{v}^{2}}{200}•\frac{270}{2v}•\frac{270}{2v}}$=3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$=13.5（元）；
當且僅當$\frac{1}{200}$v²=$\frac{270}{2v}$，即v=30（km/h）時，等號成立．     
答：當輪船速度為30km/h時，輪船行每千米的費用最少，最少費用為13.5元．

點評 本題考查了正比例函數(shù)、均值不等式的應用，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的表達式，以及利用基本不等式進行求解是解決本題的關鍵．屬于中檔題．