Question

1．一輪船行駛時，單位時間的燃料費(fèi)u與其速度v的立方成正比，若輪船的速度為每小時20km時，燃料費(fèi)為每小時40元，其余費(fèi)用每小時為270元，這部分費(fèi)用不隨速度而變化．
（1）求u是v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求輪船速度為多少時，輪船航行每千米的費(fèi)用最少（輪船最高速度為bkm/小時）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．
（2）求出輪船航行每千米的平均費(fèi)用，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)輪船的燃料費(fèi)u與速度v之間的關(guān)系是：u=kv³（k≠0），
由已知，當(dāng)v=20時，u=40，∴40=k×20³⇒k=$\frac{1}{200}$，
∴u=$\frac{1}{200}$v³．
（2）輪船行駛1千米的費(fèi)用y=u$•\frac{1}{v}$+270$•\frac{1}{v}$=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{270}{v}$=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{270}{2v}$+$\frac{270}{2v}$
≥3$\root{3}{\frac{{v}^{2}}{200}•\frac{270}{2v}•\frac{270}{2v}}$=3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$=13.5（元）；
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{200}$v²=$\frac{270}{2v}$，即v=30（km/h）時，等號成立．     
答：當(dāng)輪船速度為30km/h時，輪船行每千米的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為13.5元．

點(diǎn)評 本題考查了正比例函數(shù)、均值不等式的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的表達(dá)式，以及利用基本不等式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．