【題目】如圖所示,在棱長為1的正方體中,點分別是棱的中點,是側(cè)面內(nèi)一點,若平面,則線段長度的取值范圍是( )

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

分別取棱BB1、B1C1的中點M、N,連接MN,易證平面A1MN∥平面AEF,由題意知點P必在線段MN上,由此可判斷P在M或N處時A1P最長,位于線段MN中點處時最短,通過解直角三角形即可.

如圖所示:分別取棱BB1、B1C1的中點M、N,連接MN,連接BC1,

∵M、N、E、F為所在棱的中點,∴MN∥BC1,EF∥BC1,

∴MN∥EF,又MN平面AEF,EF平面AEF,∴MN∥平面AEF;

∵AA1∥NE,AA1=NE,∴四邊形AENA1為平行四邊形,

∴A1N∥AE,又A1N平面AEF,AE平面AEF,∴A1N∥平面AEF,

又A1N∩MN=N,∴平面A1MN∥平面AEF,∵P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點,且A1P∥平面AEF,

則P必在線段MN上,在Rt△A1B1M中,,

同理,在Rt△A1B1N中,求得A1N=,∴△A1MN為等腰三角形,

當P在MN中點O時A1P⊥MN,此時A1P最短,P位于M、N處時A1P最長,

,A1M=A1N=,

所以線段A1P長度的取值范圍是

故選B.

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