Question

已知函數(shù)f（x）=

-x，x＜0 x ，x≥0

，若關(guān)于x的方程f（x）=a（x+1）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[

  1

  2

  ，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、C（0，1）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于x的方程f（x）=a（x+1）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為直線y=a（x+1）與曲線y=

x

相交時(shí)，與f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求出直線與曲線y=

x

相切時(shí)的斜率，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，如右圖：
作出直線y=a（x+1），則直線恒過(guò)（-1，0），
關(guān)于x的方程f（x）=a（x+1）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為當(dāng)直線與曲線y=

x

相交時(shí)，
與f（x）的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線與曲線y=

x

相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（m，

m

），
則y′=

1

2

•

1

x

，則切線斜率為

1

2

•

1

m

=a，
又a（m+1）=

m

，由此解得，a=

1

2

（負(fù)的舍去），
故a的取值范圍是（0，

1

2

）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查分段函數(shù)的圖象和應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于中檔題．