徐州、蘇州兩地相距500千米,一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州,規(guī)定速度不得超過100千米/小時.已知貨車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例系數(shù)為0.01;固定部分為a元(a>0).
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?
解:(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為
,全程運輸成本為y=a×
+0.01v
2×
=
….(4分)
故所求函數(shù)及其定義域為
,v∈(0,100]….(6分)
(2)依題意知a,v都為正數(shù),故有
,當(dāng)且僅當(dāng)
,即v=10
時,等號成立…(8分)
①若
≤100,即0<a≤100時,則當(dāng)v=
時,全程運輸成本y最。10分)
②若
>100,即a>100時,則當(dāng)v∈(0,100]時,有y′=-
=
.
∴函數(shù)在v∈(0,100]上單調(diào)遞減,也即當(dāng)v=100時,全程運輸成本y最。14分)
綜上知,為使全程運輸成本y最小,當(dāng)0<a≤100時行駛速度應(yīng)為v=
千米/時;當(dāng)a>100時行駛速度應(yīng)為v=100千米/時.…(16分)
分析:(1)求出汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間,根據(jù)貨車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成,可得全程運輸成本,及函數(shù)的定義域;
(2)利用基本不等式可得
,當(dāng)且僅當(dāng)
,即v=10
時,等號成立,進(jìn)而分類討論可得結(jié)論.
點評:本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查基本不等式的運用,考查導(dǎo)數(shù)知識,解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型,利用基本不等式求最值.