Question

徐州、蘇州兩地相距500千米，一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州，規(guī)定速度不得超過100千米/小時．已知貨車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為a元（a＞0）．
（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）求出汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，根據(jù)貨車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運(yùn)輸成本，及函數(shù)的定義域；
（2）利用基本不等式可得

500a

v

+5v≥100

a

，當(dāng)且僅當(dāng)

500a

v

=5v，即v=10

a

時，等號成立，進(jìn)而分類討論可得結(jié)論．

解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

500

v

，全程運(yùn)輸成本為y=a×

500

v

+0.01v²×

500

v

=

500a

v

+5v …．（4分）
故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?span id="wjq7x2f" class="MathJye">y=

500a

v

+5v，v∈（0，100]…．（6分）
（2）依題意知a，v都為正數(shù)，故有

500a

v

+5v≥100

a

，當(dāng)且僅當(dāng)

500a

v

=5v，即v=10

a

時，等號成立…（8分）
①若10

a

≤100，即0＜a≤100時，則當(dāng)v=10

a

時，全程運(yùn)輸成本y最小．（10分）
②若10

a

＞100，即a＞100時，則當(dāng)v∈（0，100]時，有y′=-

500a

v2

+5=

5(v2-100a)

v2

＜0．
∴函數(shù)在v∈（0，100]上單調(diào)遞減，也即當(dāng)v=100時，全程運(yùn)輸成本y最小．…．（14分）
綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)0＜a≤100時行駛速度應(yīng)為v=10

a

千米/時；當(dāng)a＞100時行駛速度應(yīng)為v=100千米/時．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式求最值．