Question

一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖1所示的虛線裁下剪開(kāi)，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器．

（1）試建立容器的容積V與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域．
（2）記四棱錐（如圖2）的側(cè)面積為S′，定義

V

S′

為四棱錐形容器的容率比，容率比越大，用料越合理．
如果對(duì)任意的a，b∈R⁺，恒有如下結(jié)論：ab≤

a2+b2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．試用上述結(jié)論求容率比的最大值，并求容率比最大時(shí)，該四棱錐的表面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出所截等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為xcm，在直角三角形中根據(jù)兩條邊長(zhǎng)利用勾股定理做出四棱錐的高，表示出四棱錐的體積，根據(jù)實(shí)際意義寫(xiě)出定義域．
（2）根據(jù)所給結(jié)論計(jì)算容率比的最大值，并求出四棱錐的表面積．

解答：解：（1）在正四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為x的正方形，
F是BC的中點(diǎn)，EF⊥BC，EF=5，
則四棱錐的高EO=

EF2-OF2

=

25-( x 2 )2

=

100-x2

2

，其中0＜x＜10，
∴四棱錐的體積V=

1

3

×

1

2

x2

100-x2

=

1

6

x2

100-x2

，定義域?yàn)椋?，10）．
（2）側(cè)面積S'=4×

1

2

x×5=10，
∴容率比為

V

S′

=

1

60

x

100-x2

≤

1

60

•

x2+100-x2

2

=

5

6

，
當(dāng)且進(jìn)行x=

00-x2

，即x=5

2

時(shí)，

V

S′

有最大值

5

6

，
此時(shí)，四棱錐的表面積S=(5

2

)2+4×

1

2

×5

2

×5=50+50

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，利用條件求出錐體的底面積和高，進(jìn)而求出錐體的體積是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．