Question

設(shè)有橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，若F是橢圓C的焦點(diǎn)，而通過點(diǎn)F的直線m與C交于點(diǎn)A（x₁，y₁）與B（x₂，y₂），其中（y₁＞y₂），且滿足

AF

BF

=2，試求直線m的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)方程為y=k（x-1），代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，整理可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

AF

BF

=2，即可求直線m的方程．

解答： 解：由題意，設(shè)方程為y=k（x-1），則
代入橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，整理可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②，
∵

AF

BF

=2，
∴x₁-1=2（1-x₂）③，
由①②③可得k=±

5

6

，
∴直線m的方程為y=±

5

6

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．