Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0恰有兩解，求實(shí)數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)出臨界點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=ax-lnx，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，x＞0，a∈R，
若a≤0，則f′（x）＜0對(duì)x＞0恒成立，
所以，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞0，則f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$＞0時(shí)，x＞$\frac{1}{a}$
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）令f（x）=0，則lnx=ax，
若方程f（x）=0恰有兩解，
即y=lnx和y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，
顯然a≤0時(shí)，不合題意，
a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)y=lnx和y=ax相切時(shí)，切點(diǎn)是（x₀，lnx₀），
則lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，解得：x₀=e，
故切點(diǎn)是（e，1），此時(shí)a=$\frac{1}{e}$
故0＜a＜$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．