Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（1）當a=

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3

時，若不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)y=f'（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個零點．

Answer 1

分析：（1）把a=

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3

代入求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題，根據(jù)二次不等式對應(yīng)的二次函數(shù)開口方向及二次方程的判別式聯(lián)立解決；
（2）說明函數(shù)y=f'（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個零點，只要在區(qū)間[-1，0]內(nèi)找到兩個值，使f^′（-1）•f^′（0）＜0即可．

解答：解：（1）當a=

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3

時，f（x）=

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x3+bx2+(b-

1

3

)x，
f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

，
要使對任意x∈Rf′(x)＞-

1

3

恒成立，即x2+2bx+b-

1

3

＞-

1

3

恒成立，
也就是x²+2bx+b＞0恒成立，則△=（2b）²-4b＜0，解得：0＜b＜1．
所以不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立的b的取值范圍是（0，1）；
（2）令g（x）=f′（x）=3ax²+2bx+b-a，
g（-1）=3a×（-1）²+2b×（-1）+b-a=2a-b，
g（0）=b-a
g（-

1

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）=3×a×(-

1

3

)2+2b×(-

1

3

)+b-a=

b-2a

3

，
所以g(-1)•g(-

1

3

)=-

(b-2a)2

3

≤0，
上式等號成立時說明g(-

1

3

)=0，也滿足至少有一個零點-

1

3

．
所以函數(shù)y=f'（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個零點．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點解決等問題．