Question

1．平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當(dāng)四邊形PABN的周長(zhǎng)最小時(shí)，過(guò)三點(diǎn)A，P，N的圓的圓心坐標(biāo)是（　�。�

• A． （3，-$\frac{9}{8}$）
• B． （3，-$\frac{7}{8}$）
• C． （5，-$\frac{9}{8}$）
• D． （4，-$\frac{5}{8}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得PA+BN的最小值為EF，此時(shí)，1≤a≤3，且這3個(gè)點(diǎn)共線，故有ME、EF的斜率相等，求得a的值，可得A、P、N三點(diǎn)的坐標(biāo)，則PN、PA的中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求．

解答 解：由于AB、PN的長(zhǎng)度為定值，故只要PA+BN最小即可．
由于PA+BN=$\sqrt{{（a-1）}^{2}+9}$+$\sqrt{{（a-3）}^{2}+1}$，表示動(dòng)點(diǎn)M（a，0）到E（1，3）、F（3，-1）的距離之和，
故PA+BN的最小值為EF，此時(shí)，1≤a≤3，且這3個(gè)點(diǎn)共線，故有ME、EF的斜率相等，
即$\frac{0-3}{a-1}$=$\frac{0+1}{a-3}$，a=$\frac{5}{2}$，此時(shí)，A（1，-2），P（$\frac{5}{2}$，1），N（$\frac{7}{2}$，1）．
此時(shí)，PN的中垂線方程為x=3，PA的中垂線方程為y+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{4}$），
這兩條中垂線的交點(diǎn)為（3，-$\frac{9}{8}$），
即為過(guò)三點(diǎn)A，P，N的圓的圓心坐標(biāo)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，三點(diǎn)共線的性質(zhì)、圓心的性質(zhì)，屬于中檔題．