Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=5，a₅+a₆+a₇=39．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

4

(an-1)(an+1)

 （n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列能項公式求出a₁=3，d=2，由此能求出數(shù)列{

a

n

}的通項a_n=2n+1．
（2）由b_n=

4

4n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的首項為a₁，公差為d．
∵等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=5，a₅+a₆+a₇=39，
∴

a1+d=5 3a1+15d=39

，解得a₁=3，d=2，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴數(shù)列{

a

n

}的通項a_n=2n+1．（6分）
（2）∵a_n=2n+1，
b_n=

4

4n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（8分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（11分）
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

n

n+1

．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．