Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx，x≤0}\end{array}\right.$，則f（2013）=$\frac{11}{24}$．

Answer 1

分析 請(qǐng)查收的周期，利用定積分求出x≤0時(shí)的解析式，然后求解函數(shù)值即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x-4），x＞0}\\{{2}^{x}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx，x≤0}\end{array}\right.$，
${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx$=$\frac{1}{3}sin3x{|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x-4），x＞0\\{2}^{x}+\frac{1}{3}，x≤0\end{array}\right.$，
x＞0時(shí)，函數(shù)的周期為4，
f（2013）=f（2012+1）=f（1）=f（-3）=2^-3+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{8}+\frac{1}{3}$=$\frac{11}{24}$．
故答案為：$\frac{11}{24}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，定積分的求法，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．