Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S₅=40，a₂+a₅=20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若函數(shù)f（n）=a_n，且數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f（b_n），b1=

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3

，求證：數(shù)列{bn-

4

3

}為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式b_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁，由S₅=40，a₂+a₅=20，解可得d與a₁，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得答案；
（2）由題意分析得到b_n+1=4b_n-4，對(duì)其變形可得bn+1-

4

3

=4(bn-

4

3

)且b1-

4

3

=1，即可得數(shù)列{bn-

4

3

}是以1為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列公式即可得答案．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁
則由S5=

5(a1+a5)

2

=40，可得a1+a5=16，
又由a₂+a₅=20．
則d=（a₂-a₁）=（a₂+a₅）-（a₁+a₅）=4，
a₂+a₅=20，即（a₁+d）+（a₁+4d）=20，
∴a₁=0，
∴a_n=4n-4．
（2）∵f（n）=a_n，∴f（n）=4n-4．
∵b_n+1=f（b_n），∴b_n+1=4b_n-4，
∴bn+1-

4

3

=4(bn-

4

3

)且b1-

4

3

=1．
∴數(shù)列{bn-

4

3

}是以1為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
∴bn-

4

3

=4n-1，即bn=

4

3

+4n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，解（2）的關(guān)鍵是分析數(shù)列{b_n}的遞推公式，發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn-

4

3

}的性質(zhì)．