Question

11．已知圓O：x²+y²=r²與圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)為P，過(guò)P作與x軸平行的直線(xiàn)分別交兩圓于不同兩點(diǎn)A，B（異于P點(diǎn)），且OA⊥OB，則直線(xiàn)OP的斜率是$\sqrt{3}$，r=2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出方程組，解方程組求出半徑r的值．然后求出P的坐標(biāo)，利用斜率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：如圖所示
圓O：x²+y²=r²與圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0）的一個(gè)公共點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=1；
又過(guò)點(diǎn)P作與x軸平行的直線(xiàn)分別交兩圓于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{=y}_{2}}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=2}\end{array}\right.$；
又OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=r²，${{（x}_{2}-2）}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=r²；
由此解得r=2．
即圓O：x²+y²=4，
當(dāng)x=1時(shí)，y=±$\sqrt{3}$，
∵P在第一象限，∴y=$\sqrt{3}$，即P（1，$\sqrt{3}$），
則k_OP=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$；2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓的應(yīng)用問(wèn)題以及直線(xiàn)斜率的計(jì)算，也考查了數(shù)形結(jié)合解題方法的問(wèn)題，是綜合性題目．