Question

若x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則

(a+b)2

cd

∈

（-∞，0]∪[4，+∞）

．（結(jié)果用區(qū)間形式表示）

Answer 1

分析：根據(jù)題目的條件將a、b、c、d轉(zhuǎn)化成關(guān)于x、y的表達(dá)式，分

y

x

＞0 和

y

x

＜0兩種情況，分別利用基本不等式求出

(a+b)2

cd

的范圍．

解答：解：∵x、a、b、y成等差數(shù)列，∴a+b=x+y．
∵x、c、d、y成等比數(shù)列，∴cd=xy，x≠0，y≠0．
若

y

x

＞0，則

(a+b)2

cd

=

(x+y)2

xy

=

y

x

+

x

y

+2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

x

y

時(shí)，等號成立．
若

y

x

＜0，則-

(a+b)2

cd

=（-

y

x

 ）+（-

x

y

 ）-2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

x

y

時(shí)，等號成立．
∴

(a+b)2

cd

≤0，當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

x

y

時(shí)，等號成立．
故

(a+b)2

cd

的范圍為 （-∞，0]∪[4，+∞），
故答案為 （-∞，0]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的最值問題，利用基本不等式是我們常用的方法，式子的變形是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．