Question

10．函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，則方程f（x）-f′（x）=e（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解所在的區(qū)間是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （1，2）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 由設(shè)t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，則方程f（x）-f′（x）=e的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判斷．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-lnx為定值，
設(shè)t=f（x）-lnx，
則f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
則f（x）=lnx+e，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（x）-f′（x）=lnx+e-$\frac{1}{x}$=e，
即lnx-$\frac{1}{x}$=0，
則方程f（x）-f′（x）=e的解可轉(zhuǎn)化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
而h（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，h（1）=ln1-$\frac{1}{1}$＜0，
∴方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解所在區(qū)間為（1，2），
∴方程f（x）-f′（x）=e的解所在區(qū)間為（1，2），
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和零點(diǎn)存在定理，關(guān)鍵是求出f（x），屬于中檔題．