Question

20．根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）兩個焦點的坐標(biāo)分別為（-4，0）和（4，0），且橢圓經(jīng)過點（5，0）；
（2）中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過（2，0）和（0，1）兩點；
（3）經(jīng)過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同的焦點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），利用待定系數(shù)當(dāng)能求出橢圓方程．
（2）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，m＞0，n＞0．m≠n，利用待定系數(shù)當(dāng)能求出橢圓方程．
（3）求出橢圓9x²+4y²=36焦點為F₁（0，-$\sqrt{5}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{5}$），設(shè)經(jīng)過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同的焦點的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，（a＞b＞0），利用待定系數(shù)當(dāng)能求出橢圓方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵兩個焦點的坐標(biāo)分別為（-4，0）和（4，0），且橢圓經(jīng)過點（5，0），
∴a=5，c=4，b²=25-16=9，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，m＞0，n＞0．m≠n，
∵橢圓經(jīng)過（2，0）和（0，1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{4}$，n=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（3）∵橢圓9x²+4y²=36化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，焦點為F₁（0，-$\sqrt{5}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{5}$），
∴設(shè)經(jīng)過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同的焦點的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=5}\\{\frac{4}{^{2}}+\frac{9}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=15，b²=10，
∴所求橢圓方程為$\frac{{{x}^{2}}_{\;}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．