Question

已知圓M：2x²+2y²－8x－8y－1＝0和直線l：x+y－9＝0 . 過直線l 上一點A作△ABC，使

∠BAC=45°，AB過圓心M，且B，C在圓M上.

⑴當A的橫坐標為4時，求直線AC的方程；

⑵求點A的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【解】：⑴依題意M（2，2），A（4，5），，設(shè)直線AC的斜率為，則,解得 或，故所求直線AC的方程為5x+y－25＝0或x－5y+21＝0；

⑵圓的方程可化為(x－2)²+(y－2)²＝，設(shè)A點的橫坐標為a。則縱坐標為9－a；

當a≠2時，，設(shè)AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，

則可得，直線AC的方程為y－(9－a)＝(x－a)

即5x－(2a－9)y－2a²+22a－81＝0，

又點C在圓M上，所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，即，化簡得a²－9a+18≤0，解得3≤a≤6；

②當a＝2時，則A（2，7）與直線 x=2成45°角的直線為y－7＝x－2即x－y+5＝0，

M到它的距離，這樣點C不在圓M上，還有x+y－9＝0，顯然也不滿足條件，故A點的橫坐標范圍為［3，6］。