已知圓M：（x+
5
）2+y2=36，定點(diǎn)N（
5
，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）點(diǎn)F（x，y）在軌跡C上，求2x2+y的最大值與最小值．
分析：（I）由
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0，知Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求方程；（Ⅱ）易知-2≤y≤2，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．
解答：解：（Ⅰ）由
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0，知Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線，∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3，半焦距c=
5
，∴短半軸長(zhǎng)b=2，
∴點(diǎn)G的軌跡方程是
x2
9
+
y2
4
=1
（Ⅱ）易知-2≤y≤2，當(dāng)y=
1
9
時(shí)，2x2+y有最大值18
1
18
，當(dāng)y=-2時(shí)，2x2+y有最小值為-2
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為符合橢圓的定義，（Ⅱ）的關(guān)鍵是從轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2=9．
（1）判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）求直線m的方程，使直線m被圓C1截得的弦長(zhǎng)為4，與圓C2截得的弦長(zhǎng)是6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知圓M：（x+
5
）2+y2=36，定點(diǎn)N（
5
，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在MP上，且滿足|GP|=|GN|
（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓M：（x-1）2+（y-1）2=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C使得：∠BAC=60°，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x0的取值范圍是
[1，5]
[1，5]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓M：（x+
5
）2+y2=36，定點(diǎn)N（
5
，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）點(diǎn)F（x，y）在軌跡C上，求2x2+y的最大值與最小值．

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