Question

有4名同學(xué)準(zhǔn)備利用假期到4個(gè)村莊進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，每個(gè)人都只去一個(gè)村莊，他們每個(gè)人事前并不知道其他同學(xué)的去向，問(wèn)：
（1）共有多少種不同的去向結(jié)果？
（2）如果恰有一個(gè)村莊沒(méi)有人去，有多少種不同的去向結(jié)果？
（3）如果恰有兩個(gè)村莊沒(méi)有人去，有多少種不同的去向結(jié)果？

Answer 1

分析：（1）每個(gè)人都有4種去向，由分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；
（2）恰有一個(gè)村莊沒(méi)有人去，即4個(gè)村莊只有3個(gè)村莊有人去，各村莊去的人數(shù)只可能是1、1、2．由分步計(jì)數(shù)原理可得；
（3）恰有兩個(gè)村莊沒(méi)有人去，也就是4個(gè)人到2個(gè)村莊，分兩類(lèi)：①每個(gè)村莊去兩個(gè)人．②一個(gè)村莊去3個(gè)人，另一個(gè)村莊去1個(gè)人，分別由分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果，相加即可．

解答：解：（1）設(shè)這四名同學(xué)為甲、乙、丙、丁，則甲可去任一個(gè)村莊，有4種去向，
同理其他三人也各有4種，由分步計(jì)數(shù)原理知，共有4⁴=256種去向結(jié)果．
（2）恰有一個(gè)村莊沒(méi)有人去，則4個(gè)村莊只有3個(gè)村莊有人去，各村莊去的人數(shù)只可能是1、1、2．
先從4人中選取2人同去一個(gè)村莊，有

C

2 4

種方法，然后與其余2個(gè)人看成3個(gè)小組，
分別到4個(gè)村莊中的3個(gè)村莊，有

A

3 4

種結(jié)果，
則由分步計(jì)數(shù)原理知，共有

C

2 4

•

A

3 4

=144種不同的去向結(jié)果．
（3）恰有兩個(gè)村莊沒(méi)有人去，也就是4個(gè)人到2個(gè)村莊，從人數(shù)看有兩種不同的結(jié)果：
①每個(gè)村莊去兩個(gè)人．先從4個(gè)村莊中選取有人去的2個(gè)村莊，有

C

2 4

種結(jié)果，
把4個(gè)人平均分成2組后，分到這2個(gè)村莊去有

C

2 4

•

C

2 2

種結(jié)果，
由分步計(jì)數(shù)原理知，共有

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

=36種結(jié)果；        
②一個(gè)村莊去3個(gè)人，另一個(gè)村莊去1個(gè)人，先把人分成兩組，一組1人，一組3人，有

C

1 4

種結(jié)果，
再選擇兩組人去的村莊有

A

2 4

種結(jié)果，由分步計(jì)數(shù)原理知，共有

C

1 4

•

A

2 4

=48種結(jié)果．         
由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，共有36+48=84種不同的去向結(jié)果．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合與簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．