Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（x∈R）的圖象過點P（-1，2），且在點P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=mx³+f′（x）-3x在（2，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的解析式中有兩個參數(shù)，故需要兩個方程，由圖象過定點P可以得到一個方程，另一個由點P處的切線與直線x-3y=0垂直可以得到切線的斜率，得到另一個方程，由此兩方程聯(lián)立即可得到兩個參數(shù)的值．
（2）求解本題中的參數(shù)取值范圍需要先求出g（x）的解析式，然后求出其導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)在（2，+∞）上是減函數(shù)，故在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值應(yīng)小于等于0，由此關(guān)系得到參數(shù)m的不等式，解之即得．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx
∴由題意有∴
∴f（x）=x³+3x²
（2）∵g′（x）=3mx²+2x-1，
∴依據(jù)題意：當(dāng)x∈（2，+∞）時，3mx²+2x-1≤0恒成立；
即：在x∈（2，+∞）時恒成立；令，
易求得在x∈（2，+∞）的最小值為
∴
點評：本題的考點是函數(shù)的解析式求解方法及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個重要的方法，導(dǎo)數(shù)的引入給函數(shù)單調(diào)性的研究帶來了極大的便利，學(xué)習(xí)時要注意導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的使用方法及規(guī)律．