Question

已知橢圓C：x²+

y2

4

=1，過點(diǎn)M（0，1）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)P，且P為AM的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N（0，

1

2

），求|

NA

+

NB

|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，所以y₁=-1，又因?yàn)辄c(diǎn)A（x₁，y₁）在橢圓C上，所以x1=±

3

2

，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

NA

=(x1，y1-

1

2

)，

NB

=(x2，y2-

1

2

)，所以

NA

+

NB

=(x1+x2，y1+y2-1)，則|

NA

+

NB

|  =

(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2

，由此進(jìn)行分類討論，能推導(dǎo)出當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時(shí)，|

NA

+

NB

|有最大值1．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)A（x₁，y₁），
因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，
所以

y1+1

2

=0，解得y₁=-1，（1分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x₁，y₁）在橢圓C上，
所以x12+

y12

4

=1，即x12+ 

1

4

=1，解得x1=±

3

2

，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

2

，-1）或（-

3

2

，-1），
所以直線l的方程為4

3

x-3y+3=0，或4

3

x+3y-3=0．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

NA

=(x1，y1-

1

2

)，

NB

=(x2，y2-

1

2

)，
所以

NA

+

NB

=(x1+x2，y1+y2-1)，
則|

NA

+

NB

|  =

(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2

，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，
其方程為x=0，A（0，2），B（0，-2），此時(shí)|

NA

+

NB

|=1；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+1，
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

的解，
消去y得（4+k²）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²+12（4+k²）＞0，x1+x2=

-2k

4+k2

，
則y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=

8

4+k2

，
所以|

NA

+

NB

|2=(

-2k

4+k2

)2+(

8

4+k2

-1)2
=

-12k2

(4+ k2)2

+1≤1，
當(dāng)k=0時(shí)，等號(hào)成立，即此時(shí)|

NA

+

NB

|取得最大值1．
綜上，當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時(shí)，|

NA

+

NB

|有最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．