已知a>0,數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=a+
1
an
,n=1,2,….

(I)已知數(shù)列{an}極限存在且大于零,求A=
lim
n→∞
an
(將A用a表示);
(II)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對n=1,2,…
都成立,求a的取值范圍.
分析:(I)由
lim
n→∞
an存在,且A=
lim
n→∞
an(A>0),對an+1=a+
1
an
兩邊取極限得
A=a+
1
A
,解得A=
a2+4
2
.又A>0,∴A=
a+
a2+4
2
.

(II)an=bn+A,an+1=a+
1
an
bn+1+A=a+
1
bn+A
.
由此可知bn+1=-
bn
A(bn+A)

(III)令|b1|≤
1
2
,得|a-
1
2
(a+
a2+4
)|≤
1
2
.
所以|
1
2
(
a2+4
-a)|≤
1
2
.
由此可求出a的取值范圍.
解答:解:(I)由
lim
n→∞
an存在,且A=
lim
n→∞
an(A>0),對an+1=a+
1
an
兩邊取極限得
A=a+
1
A
,解得A=
a2+4
2
.又A>0,∴A=
a+
a2+4
2
.

(II)an=bn+A,an+1=a+
1
an
bn+1+A=a+
1
bn+A
.
bn+1=a-A+
1
bn+A
=-
1
A
+
1
bn+A
=-
bn
A(bn+A)
.

bn+1=-
bn
A(
b
 
n
+A)
對n=1,2,都成立

(III)令|b1|≤
1
2
,得|a-
1
2
(a+
a2+4
)|≤
1
2
.

|
1
2
(
a2+4
-a)|≤
1
2
.

a2+4
-a≤1,解得a≥
3
2
.

現(xiàn)證明當(dāng)a≥
3
2
時(shí),|bn|≤
1
2n
對n=1,2,都成立.

(i)當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立(已驗(yàn)證).
(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)結(jié)論成立,即|bk|≤
1
2k
,那么
|bk+1|=
|bk|
|A(bk+A)|
1
A|bk+A|
×
1
2k

故只須證明
1
A|bk+A|
1
2
,即證A|bk+A|≥2對a≥
3
2
成立.

由于A=
a+
a2+4
2
=
2
a2+4
-a
,
而當(dāng)a≥
3
2
時(shí),
a2+4
-a≤1,∴A≥2.

|bk+A|≥A-|bk|≥2-
1
2k
≥1,即A|bk+A|≥2.

故當(dāng)a≥
3
2
時(shí),|bk+1|≤
1
2
×
1
2k
=
1
2k+1
.

即n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
根據(jù)(i)和(ii)可知結(jié)論對一切正整數(shù)都成立.
|bn|≤
1
2n
對n=1,2,都成立的a的取值范圍為[
3
2
,+∞).
點(diǎn)評:本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學(xué)歸納法,考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知a>0,且a≠1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,它滿足條件
an-1
Sn
=1-
1
a
.?dāng)?shù)列{bn}中,bn=an•lgan
(1)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(2)若對一切n∈N*都有bn<bn+1,求a的取值范圍.

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已知a>0,數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…。
(1)已知數(shù)列{an}極限存在且大于零,求A=(將A用a表示);
(2)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:
(3)若|bn|≤對n=1,2,…都成立,求a的取值范圍。

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已知a>0,且a≠1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,它滿足條件.?dāng)?shù)列{bn}中,bn=an•lgan
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(2)若對一切n∈N*都有bn<bn+1,求a的取值范圍.

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(Ⅰ)若數(shù)列A:0,1,1,3,0,0,試寫出數(shù)列A5;若數(shù)列A4:4,0,0,0,0,試寫出數(shù)列A;
(Ⅱ)證明存在數(shù)列A,經(jīng)過有限次T變換,可將數(shù)列A變?yōu)閿?shù)列;
(Ⅲ)若數(shù)列A經(jīng)過有限次T變換,可變?yōu)閿?shù)列.設(shè)Sm=am+am+1+…+an,m=1,2,…,n,求證,其中表示不超過的最大整數(shù).

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