已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+，n=1，2，…。
（1）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=（將A用a表示）；
（2）設(shè)bn=an-A，n=1，2，…，證明：；
（3）若|bn|≤對(duì)n=1，2，…都成立，求a的取值范圍。
解：（1）由存在，且，對(duì)兩邊取極限得
，解得
又
∴。
（2）由得
∴
即對(duì)n=1，2，3，…都成立。
（3）令，得
∴
∴，解得
現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，對(duì)n=1，2，3，…都成立
（i）當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立（已驗(yàn)證）
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)結(jié)論成立，即
那么
故只須證明，即證對(duì)成立
由于
而當(dāng)時(shí)，
∴
∴，即
故當(dāng)時(shí)，
即n=k+1時(shí)結(jié)論成立
根據(jù)（i）和（ii）可知結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立
故對(duì)n=1，2，3，…都成立的a的取值范圍為。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數(shù)列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設(shè)bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對(duì)n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，且a≠1，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，它滿足條件
an-1
Sn
=1-
1
a
．?dāng)?shù)列{bn}中，bn=an•lgan．
（1）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（2）若對(duì)一切n∈N*都有bn＜bn+1，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年福建省莆田八中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知a＞0，且a≠1，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，它滿足條件．?dāng)?shù)列{bn}中，bn=an•lgan．
（1）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（2）若對(duì)一切n∈N*都有bn＜bn+1，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年北京市朝陽(yáng)區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列A：a，a1，…，an（n∈N*），滿足a=0，a1+…+an=n．若存在最小的正整數(shù)k，使得ak=k（k≥1），則可定義變換T，變換T將數(shù)列A變?yōu)門（A）：a+1，a1+1，…，ak-1+1，0，ak+1，…，an．設(shè)Ai+1=T（Ai），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若數(shù)列A：0，1，1，3，0，0，試寫出數(shù)列A5；若數(shù)列A4：4，0，0，0，0，試寫出數(shù)列A；
（Ⅱ）證明存在數(shù)列A，經(jīng)過(guò)有限次T變換，可將數(shù)列A變?yōu)閿?shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列A經(jīng)過(guò)有限次T變換，可變?yōu)閿?shù)列．設(shè)Sm=am+am+1+…+an，m=1，2，…，n，求證，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)．

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