Question

已知函數(shù)

(Ⅰ)若時，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求b的取值范圍；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的結論下，設函數(shù)求的最小值；

(Ⅲ)設函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，問是否存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）；（II）(Ⅲ)見解析；

【解析】

試題分析：（1）依題意：∵上是增函數(shù)∴對恒成立，又故b的取值范圍為（2）設，則，即，這里需分三類討論第一類第二類第三類（3）設點P、Q的坐標是假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則即則

，，再通過構造新函數(shù)推出矛盾

試題解析：（1）依題意：∵上是增函數(shù)，

∴對恒成立， 2分

∴∵ ∴b的取值范圍為 4分

（2）設，則，即 5分

∴當即時函數(shù)y在[1,2]上為增函數(shù)，

當t=1時， 6分

當即時， 7分

當即時，函數(shù)y在[1,2]上為減函數(shù)，

當t=2時， 8分

綜上所述，當時的最小值為b+1

當時的最小值為

當時的最小值為4+2b 9分

（3）設點P、Q的坐標是則點M、N的橫坐標為

C1在M處的切線斜率為 C­2­在點N處的切線斜率

假設C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則

即

則

， 12分

設 ①

令則

∵ ∴

所以上單調(diào)遞增，故 ， 則

這與①矛盾，假設不成立,故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行. 14分

考點：導數(shù)的綜合應用