Question

已知函數(shù)f(x)=

4x+1

2ax

(a∈R)是偶函數(shù)，g（x）=t•2^x+4，
（1）求a的值；
（2）當t=-2時，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由偶函數(shù)的定義知f（x）=f（-x），化簡即可求得a值；
（2）對f（x）＜g（x）進行等價變形可化為關于2^x的二次不等式，解得2^x的范圍，進而可得x的范圍；
（3）函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，等價于f（x）＞g（x）恒成立，分離出t后轉化為求函數(shù)的最值解決；

解答：解：（1）由f（x）是偶函數(shù)，得f（x）=f（-x），即

4x+1

2ax

=

4-x+1

2-ax

，
化簡得2^2ax=4^x，故a=1；
（2）f（x）＜g（x）即

4x+1

2x

＜-2•2x+4，亦即3•4^x-4•2^x+1＜0，
所以

1

3

＜2x＜1，即log2

1

3

＜x＜0，
所以不等式f（x）＜g（x）的解集為{x|log2

1

3

＜x＜0}；
（3）因為函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，
所以f（x）＞g（x），即

4x+1

2x

＞t•2x+4，得t＜

1

4x

-

4

2x

+1，
∵

1

4x

-

4

2x

+1=(

1

2x

-2)2-3≥-3，∴t＜-3；
故實數(shù)t的取值范圍為：t＜-3．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查指數(shù)不等式的求解及函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題往往轉化為函數(shù)最值解決．