Question

14．已知點C（1，0），點A，B是⊙O：x²+y²=9上任意兩個不同的點，且滿足$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，設M為弦AB的中點．
（1）求點M的軌跡T的方程；
（2）若以點M為圓心，|$\overrightarrow{MC}$|為半徑的圓與直線x=-1相切，求|$\overrightarrow{AB}$|

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件結合$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，進行求解即可求點M的軌跡T的方程；
（2）求出圓的方程，得到M的軌跡方程，利用直線和圓錐曲線的位置關系進行求解即可．

解答 解：（1）連接OM，OA，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0得AC⊥BC，
∴|CM|=|AM|=|BM|=$\frac{1}{2}$|AB|，
由垂徑定理知|OM|²+|AM|²=|OA|²，
即|OM|²+|AM|²=9，
設M（x，y），
則x²+y²+（x-1）²+y²=9，
即x²-x+y²=4，
則點M的軌跡T的方程是x²-x+y²=4．
（2）∵以點M為圓心，|$\overrightarrow{MC}$|為半徑的圓與直線x=-1相切，
∴點M到直線x=-1的距離與到點C（1，0）的距離相等，
根據(jù)拋物線的定義知點M在拋物線y²=2px上，其中$\frac{p}{2}=1$，則p=2，
故拋物線方程為y²=4x，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{{x}^{2}-x+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得x²+3x-4=0，得x=1或x=-4，
由于x≥0，∴x=1，此時y=±2，
|CM|=$\sqrt{5}$，|AB|=2$\sqrt{9-5}$=2×2=4，
即|$\overrightarrow{AB}$|=4

點評 本題主要考查點的軌跡的求解，根據(jù)拋物線的定義以及代入法求出點的軌跡是解決本題的關鍵．綜合考查學生的運算能力．