Question

4．等差數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，a₂+a₆=14；正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=2，b₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式a_n，b_n；
（2）求數(shù)列{（a_n+1）•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）（a_n+1）•b_n=2n×2ⁿ=n×2ⁿ⁺¹．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=1，a₂+a₆=14；
∴2×1+6d=14，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的公比為q＞0，∵b₁=2，b₃=8．
∴2q²=8，解得q=2．
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）（a_n+1）•b_n=2n×2ⁿ=n×2ⁿ⁺¹．
數(shù)列{（a_n+1）•b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺²=（1-n）×2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．