Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+$\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}={2^{n+1}}$（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得n=1的首項(xiàng)，將n換為n-1，相減即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則${S_n}=4+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}（n≥2，n∈N*）$，兩邊乘以2，作差后運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，化簡計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，由題設(shè)知a₁=4；
當(dāng)n≥2時(shí)，由題設(shè)${a_1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{a_n}{n}={2^{n+1}}$，知${a_1}+\frac{a_2}{2}+…+\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}={2^n}$，
兩式相減得$\frac{a_n}{n}={2^{n+1}}-{2^n}$，
即${a_n}=n•{2^n}（n≥2）$，
故{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{\begin{array}{l}4，（n=1）\\ n•{2^n}，（n≥2，n∈N*）\end{array}\right.$；
（Ⅱ）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則${S_n}=4+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}（n≥2，n∈N*）$，$2{S_n}=2×4+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}（n≥2，n∈N*）$，
兩式相減得$-{S_n}=4-8+8+（{2^3}+{2^4}+…+{2^n}）-n×{2^{n+1}}$
=4+$\frac{8（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹，
化簡得${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+4$，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=4，滿足S_n，
所以${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+4$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．