Question

2．已知函數(shù)f（x）=|a-x|（a∈R）
（Ⅰ）當a=$\frac{3}{2}$時，求使不等式f（2x-$\frac{3}{2}$）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）設(shè)x₀∈A，證明f（x₀x）≥x₀f（x）+f（ax₀）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a的值代入不等式化簡后，對x分類討論，分別去掉絕對值求出每個不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；
（Ⅱ）由（I）和x₀∈A求出x₀的范圍，化簡f（x₀x）-x₀f（x）后利用絕對值三角不等式證明結(jié)論成立．

解答 解：（Ⅰ）當a=$\frac{3}{2}$時，原不等式化為：|x-$\frac{3}{2}$|-|x+$\frac{1}{2}$|＞1①，-----1分
當x$≤-\frac{1}{2}$時，①式化為：$\frac{3}{2}$-x+x+$\frac{1}{2}$＞1恒成立，
即x$≤-\frac{1}{2}$；-----2分
當$-\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$時，①式化為：$\frac{3}{2}$-x-x-$\frac{1}{2}$＞1恒成立，
解得x＜0，即$-\frac{1}{2}$＜x＜0；------3分
當x≥$\frac{3}{2}$時，①式化為：-$\frac{3}{2}$+x-x-$\frac{1}{2}$＞1無解，-------4分
綜上，原不等式的解集A=（-∞，0）；------5分
證明：（Ⅱ）因為x₀∈A，所以x₀＜0，
又f（x）=|a-x|，-------6分
所以f（x₀x）-x₀f（x）=|a-x₀x|-x₀|a-x|
=|a-x₀x|+|-x₀a+x₀x|≥|a-x₀x-x₀a+x₀x|
=|a-ax₀|=f（ax₀），-------9分
所以f（x₀x）≥x₀f（x）+f（ax₀）．-------10分

點評 本題考查絕對值不等式的解法，以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．