Question

11．已知F₁、F₂為雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)F₂垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，BF₁交y軸于點(diǎn)C，若AC⊥BF₁，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)中位線定理，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{{BF}_{1}}$=0，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用雙曲線的性質(zhì)，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），
由AB為雙曲線的通徑，則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），F(xiàn)₁（-c，0），
由OC為△F₁F₂B中位線，
則丨OC丨=$\frac{^{2}}{2a}$，則C（0，-$\frac{^{2}}{2a}$），
則$\overrightarrow{AC}$=（-c，-$\frac{3^{2}}{2a}$），$\overrightarrow{{BF}_{1}}$=（-2c，$\frac{^{2}}{a}$），
由AC⊥BF₁，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{{BF}_{1}}$=0，
則2c²-$\frac{3^{4}}{2{a}^{2}}$=0
整理得：3b⁴=4a²c²，
由b²=c²-a²，3c⁴-10a²c²+3a⁴=0，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，則3e⁴-10e²+3=0，解得：e²=3或e²=$\frac{1}{3}$，
由e＞1，則e=$\sqrt{3}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．