設(shè)A（a，b）是第一象限內(nèi)的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線l分別交x，y軸正半軸于M，N．
（1）求當(dāng)△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積取最小值時(shí)，M，N的坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)|OM|+|ON|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）取最小值時(shí)，M，N的坐標(biāo)．
分析：設(shè)點(diǎn)M（m，0），N（0，n），（m＞0，n＞0），則直線l的方程為
x
m
+
y
n
=1．由于A（a，b）在直線l上，可得
a
m
+
b
n
=1．
（1）利用基本不等式可得S△MON=
1
2
mn=
1
2ab
•
a
m
•
b
n
≤
1
2ab
(
a
m
+
b
n
2
)2，當(dāng)且僅當(dāng)
a
m
=
b
n
=
1
2
時(shí)取等號(hào)．
（2）|OM|+|ON|=m+n=(m+n)(
a
m
+
b
n
)=a+b+
an
m
+
bm
n
≥a+b+2
an
m
•
bm
n
，當(dāng)且僅當(dāng)
an
m
=
bm
n
，
a
m
+
b
n
=1取等號(hào)，即可得出．
解答：解：設(shè)點(diǎn)M（m，0），N（0，n），（m＞0，n＞0），則直線l的方程為
x
m
+
y
n
=1．
∵A（a，b）在直線l上，∴
a
m
+
b
n
=1．
（1）S△MON=
1
2
mn=
1
2ab
•
a
m
•
b
n
≤
1
2ab
(
a
m
+
b
n
2
)2=
1
8ab
，當(dāng)且僅當(dāng)m=2a，n=2b時(shí)取等號(hào)．
∴M（2a，0），N（0，2b）．
（2）|OM|+|ON|=m+n=(m+n)(
a
m
+
b
n
)=a+b+
an
m
+
bm
n
≥a+b+2
an
m
•
bm
n
=a+b+2
ab
．當(dāng)且僅當(dāng)m=a+
ab
，n=b+
ab
時(shí)取等號(hào)．
∴M(a+
ab
，0)，N(0，b+
ab
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的截距式方程、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•中山模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞o)的左焦點(diǎn)為F（-
2
，0），離心率e=
2
2
，M、N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：
OP
=
OM
+2
ON
，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，問(wèn)：是否存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？，若存在，求出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，證明：MN⊥MB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　人教課標(biāo)高二版(A選修1－2)　2009－2010學(xué)年　第33期　總第189期 人教課標(biāo)版(A選修1－2) 題型：013

設(shè)a＞1，復(fù)數(shù)z滿足(1＋ai)z＝i＋a(i是虛數(shù)單位)，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中的

[　　]
A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期單元測(cè)試數(shù)學(xué) 題型：解答題

 

 

（文）某電信部門執(zhí)行的新的電話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中，其中本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)內(nèi)的通話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：前3分鐘為0．20元（不足3分鐘按3分鐘計(jì)算），以后的每分鐘收0．10元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)算。）在一次實(shí)習(xí)作業(yè)中，某同學(xué)調(diào)查了A、B、C、D、E五人某天撥打的本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)內(nèi)的電話通話時(shí)間情況，其原始數(shù)據(jù)如下表所示：

 

A

B

C

D

E

第一次通話時(shí)間

3分

3分45秒

3分55秒

3分20秒

6分

第二次通話時(shí)間

0分

4分

3分40秒

4分50秒

0分

第三次通話時(shí)間

0分

0分

5分

2分

0分

應(yīng)繳話費(fèi)（元）

 

 

 

 

 

 （1）在上表中填寫出各人應(yīng)繳的話費(fèi)；

 （2）設(shè)通話時(shí)間為t分鐘，試根據(jù)上表完成下表的填寫（即這五人在這一天內(nèi)的通話情況統(tǒng)計(jì)表）：

時(shí)間段

頻數(shù)累計(jì)

頻數(shù)

頻率

累計(jì)頻率

0<t≤3

┯

2

0．2

0．2

3<t≤4

 

 

 

 

4<t≤5

 

 

 

 

5<t≤6

 

 

 

 

合計(jì)

正 正

 

 

 

 （3）若該本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)原來(lái)執(zhí)行的電話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：每3分鐘為0．20元（不足3分鐘按3分鐘計(jì)算）。問(wèn)這五人這天的實(shí)際平均通話費(fèi)與原通話標(biāo)準(zhǔn)下算出的平均通話費(fèi)相比，是增多了還是減少了？增或減了多少？

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓=1(a＞b＞0)與拋物線y2=4x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，橢圓左準(zhǔn)線與拋物線準(zhǔn)線之間的距離為3.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)A、B是第一象限內(nèi)分別在橢圓和拋物線上的不同兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為0，求|BF|-|AF|的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案